「数学の王」と称される男、レオンハルト・オイラー。
私たちが日常で使う数学の記号や公式の多くは、実はオイラーによって生み出されました。
関数の記号 f(x)、三角関数の sin, cos, tan、自然対数の底 e、そして「世界で最も美しい式」とも言われる e^(iπ) + 1 = 0。これらはすべてオイラーの手によるものです。
今回は『天才オイラーが残した数学の功績』について紹介します。
彼の業績は解析学、数論、グラフ理論、物理学など多岐にわたり、現代数学の基礎を築きました。さらに、視力を失っても研究を続け、膨大な論文を残したオイラー。
オイラーが残した数学の世界を一緒に見てみましょう〜！
レオンハルト・オイラーの生涯と経歴
「レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler，
1707年4月15日-1783年9月18日）」は、スイス出身の数学者であり、数学の多くの分野で重要な業績を残した人物です。解析学、数論、グラフ理論、トポロジー、物理学、工学など、幅広い分野に影響を与えました。
<レオンハルト・オイラーの年表>
1707年4月15日: スイスのバーゼルで生まれる
1720年（13歳）: バーゼル大学に入学
1727年（20歳）: サンクトペテルブルクのロシア科学アカデミーに招聘される
1736年（29歳）: 「力学論（Mechanica）」を出版し、解析力学の基礎を築く
1741年（34歳）: フリードリヒ大王に招かれ、プロイセンのベルリン科学アカデミーに移籍
1748年（41歳）: 「無限解析入門（Introductio in analysin infinitorum）」を出版し、解析学の体系化を進める
1755年（48歳）: 「微分学教程（Institutiones Calculi Differentialis）」を出版
1766年（59歳）: ロシアのエカチェリーナ2世の招きで、再びサンクトペテルブルクへ戻る
1775年（68歳）: 完全失明しながらも数学研究を続け、弟子に口述筆記させる
1783年9月18日（76歳）: サンクトペテルブルクで死去
『レオンハルト・オイラー』の生涯やエピソードについてはこの記事に詳しく書いています！↓
数学の世界に革命をもたらした男、レオンハルト・オイラー。 彼の名前を知らなくても、数学の授業で見た記号 e、i、π、Σ、f(x)…これらの多くは、彼が広めたものです。 解析学、数論、グラフ理論、物理学に至るまで、彼の業績は現代の[…]
オイラーが残した数学の功績
オイラーは数学の分野において、様々な功績を残しました。
- 解析学
- 数論
- グラフ理論
それぞれの分野で現在の数学の基礎となる理論を築き上げました。
オイラーが残した公式や定理、などをわかりやすく解説していきます。
1.解析学におけるオイラーの貢献
オイラーは解析学において非常に多くの重要な成果を残しました。特に「オイラーの公式」や「無限級数の研究」は、現代数学の基礎となる重要な概念を確立しました。それぞれを詳しく解説していきます。
1. オイラーの公式
オイラーの公式は、指数関数と三角関数を結びつける基本的な関係式です。
この式が示すのは、複素指数関数 e^(ix) が、三角関数 cos(x) と sin(x) を用いて表せることです。
特に、x = π を代入すると、e^(iπ) + 1 = 0となり、これは 「オイラーの等式（Euler’s Identity）」 として知られています。
この等式は、数学の最も美しい式の一つとされ、数学の5つの基本的な数：
• 0（加法の単位元）
• 1（乗法の単位元）
• e（自然対数の底）
• i（虚数単位）
• π（円周率）
が、一つの式で結びついている点が魅力的です。
＜オイラーの公式の証明＞
オイラーの公式は、テイラー展開を使って証明できます。
まず、指数関数 e^x のマクローリン展開（x = 0 まわりのテイラー展開）を考えます：
e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …
これを複素数 x = iθ に適用すると、
e^(iθ) = 1 + iθ + (iθ)²/2! + (iθ)³/3! + (iθ)⁴/4! + …
虚数単位 i の性質 i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 を用いると、
偶数次の項は cos(θ) のテイラー展開と一致し、
奇数次の項は sin(θ) のテイラー展開と一致します。
よって、e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)となり、オイラーの公式が導かれます。
＜オイラーの公式の応用＞
- 複素数の極形式表示：任意の複素数 z = a + bi は、極座標 r e^(iθ) で表せます。
- オイラーの等式 e^(iπ) + 1 = 0：これは特に重要で、美しい数学的関係を示しています。
- フーリエ解析・信号処理：三角関数を指数関数の形で表すことで、フーリエ変換や電気工学、量子力学などに応用されています。
2. 無限級数の研究
オイラーは無限級数の収束・発散についての理解を深め、多くの結果を発見しました。
(1) バーゼル問題
オイラーは、次の無限級数の和を求めました：
1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + …
この級数は 「バーゼル問題」 と呼ばれ、当時の数学者たちにとって難問でした。オイラーは次の結果を導きました：
1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + … = π²/6
(2) バーゼル問題のオイラーの解法
オイラーは、三角関数のマクローリン展開や無限積表示を利用してこの結果を得ました。
特に、sin(x) の無限積表示：
sin(x)/x = (1 – x²/π²) (1 – x²/4π²) (1 – x²/9π²) …
を使うことで、級数の和を求める手法を発展させました。
3. その他の級数
オイラーは他にも多くの級数の和を求めました。
・調和級数の発散
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … は無限に発散することを証明しました。
・ゼータ関数の解析
ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …
これは後のリーマンゼータ関数の研究につながりました。
2.数論におけるオイラーの業績
オイラーは数論の分野でも多くの重要な発見をしました。特に、オイラーのトーシェント関数やオイラーの定理は、現在の整数論や暗号理論にも応用される重要な概念です。また、彼はフェルマーの小定理の一般化や素数に関する多くの研究を行いました。
1. オイラーのトーシェント関数
オイラーの「トーシェント関数（Euler’s totient function）」は、「1以上 n 以下の整数のうち、n と互いに素な数の個数を表す関数」です。これをφ(n)（ファイ関数）と書きます。
例：
・n = 1 のとき、φ(1) = 1 （1は自分自身としか互いに素でない）。
・n = 6 のとき、1, 5 が 6 と互いに素なので、φ(6) = 2。
・n = 9 のとき、1, 2, 4, 5, 7, 8 が 9 と互いに素なので、φ(9) = 6。
<計算方法>
1. 素数 p の場合
もし n = p（素数）ならば、1から p – 1 までのすべての整数が p と互いに素なのでφ(p) = p – 1（例えば、φ(7) = 6。）
2. 素数の累乗 p^k の場合
もし n = p^k ならば、p で割り切れる数（つまり p, 2p, 3p, …, (p^(k-1))p）を除けば良いので、φ(p^k) = p^k – p^(k-1) = p^k (1 – 1/p)
（例えば、φ(9) = φ(3^2) = 9 – 3 = 6。）
3. 一般の数 n = p1^k1 * p2^k2 * … * pm^km の場合（オイラーの公式）
n を素因数分解してn = p1^k1 * p2^k2 * … * pm^kmとすると、オイラーのトーシェント関数は、
φ(n) = n * (1 – 1/p1) * (1 – 1/p2) * … * (1 – 1/pm)
（例えば、n = 12 ならば、φ(12) = 12 * (1 – 1/2) * (1 – 1/3) = 12 * 1/2 * 2/3 = 4。）
このようにして、互いに素な数の個数を求めることができます。
この関数は、暗号理論（特にRSA暗号）で非常に重要な役割を果たしています。
2. オイラーの定理
オイラーの定理（Euler’s theorem）は、フェルマーの小定理を一般化したもので、次のように表されます。
もし a が n と互いに素（gcd(a, n) = 1）ならば、
「a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)」が成り立つ。
この定理は簡単に証明することができます。
＜証明の概要＞
1. フェルマーの小定理の一般化
フェルマーの小定理では、p を素数とするとa^(p-1) ≡ 1 (mod p)でした。
2. オイラーのトーシェント関数を利用
フェルマーの小定理では、p-1 が φ(p) に対応しています。n を任意の整数に拡張し、φ(n) を使うことでオイラーの定理が成り立ちます。
オイラーの定理の証明
オイラーの定理を証明するために、オイラーのトーシェント関数の性質を利用します。
・ステップ 1: 互いに素な数の集合を定義する
オイラーのトーシェント関数 φ(n) の定義によれば、
1 以上 n 以下の整数のうち、n と互いに素な数の集合を考えます。
この集合を次のように表します：S = { x1, x2, …, xφ(n) }
ここで、各 xi は n と互いに素（gcd(xi, n) = 1）です。
・ステップ 2: 各要素を a 倍した新しい集合を作る
a が n と互いに素（gcd(a, n) = 1）であることを利用して、各 xi を a 倍した新しい集合を考えます。
S’ = { a * x1, a * x2, …, a * xφ(n) } (mod n)
ここで、各要素 a * xi も n と互いに素であることが重要です。なぜなら、xi が n と互いに素であり、また a も n と互いに素なので、積 a * xi も n と互いに素であるからです。
つまり、集合 S’ は元の集合 S の要素を並び替えただけのものであり、同じ要素を持ちます。
・ステップ 3: 両集合の積を比較
集合 S のすべての要素の積を考えます。
P = x1 * x2 * … * xφ(n)
また、新しい集合 S’ のすべての要素の積を考えると、P’ = (a * x1) * (a * x2) * … * (a * xφ(n))
これを展開すると、P’ = a^(φ(n)) * (x1 * x2 * … * xφ(n))となります。
ここで、集合 S と S’ は要素が一致するので、P ≡ P’ (mod n)すなわち、
x1 * x2 * … * xφ(n) ≡ a^(φ(n)) * (x1 * x2 * … * xφ(n)) (mod n)
・ステップ 4: 両辺を割る
ここで、積 x1 * x2 * … * xφ(n) は n と互いに素であるため、合同式の両辺をこの積で割ることができます。（割り算ができるのは、すべての xi が n と互いに素であるため、逆元を持つため）
a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)
これでオイラーの定理が証明されました。
例:n = 9, a = 2 の場合
φ(9) = 6 なので、2^6 ≡ 1 (mod 9) であることが確認できます。
計算すると 2^6 = 64 なので、64 を 9 で割った余りは 1 です。
よって、確かに 2^6 ≡ 1 (mod 9) となります。
この定理もRSA暗号の理論的基盤として使われています。
フェルマーの小定理とオイラーの定理の関係
オイラーの定理は、フェルマーの小定理の一般化として見ることができます。
＜フェルマーの小定理＞
もし p が素数で、a が p の倍数でないならば、
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)が成り立つ。
フェルマーの小定理では n を素数 p に限定していますが、オイラーの定理は任意の自然数 n に拡張されています。
そのため、フェルマーの小定理はオイラーの定理の特別な場合と考えることができます。
『フェルマーに関する記事』はこちらにも書いています↓
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3.素数に関する研究
オイラーは、素数に関しても重要な研究を行いました。
① 素数の無限性の証明の別解
オイラーは、次の級数が発散することを示し、素数が無限に存在することを証明しました。
これは「オイラーの素数級数」と呼ばれます。
② 素数とゼータ関数の関係
リーマンゼータ関数との関係を発見し、素数分布の研究に貢献しました。
これは「オイラーの積表示」と呼ばれ、解析数論における重要な結果です。
3.グラフ理論とトポロジーにおけるオイラーの業績
オイラーは、現代のグラフ理論とトポロジーの基礎を築いた数学者として知られています。特に、以下の二つの成果が有名です。
- ケーニヒスベルクの橋の問題とグラフ理論の誕生
- オイラー多面体定理とトポロジーの基礎
これらの理論は、現代のネットワーク解析や位相幾何学（トポロジー）に大きな影響を与えました。それぞれ詳しく解説します。
1. ケーニヒスベルクの橋の問題とグラフ理論の誕生
(1) 問題の内容
ケーニヒスベルク（現在のロシア・カリーニングラード）には、プレーゲル川（現在のプリゴリャ川）にかかる七つの橋がありました。地元の人々は、次のようなパズル的な問題を考えていました。
「七つの橋を一回ずつ渡りながら、すべての橋を渡り終えたときに出発点に戻れるか？」
このような「一筆書き」の問題を数学的に考察したのがオイラーでした。
(2) オイラーの解決
オイラーはこの問題を抽象化し、次のような「グラフ」の形に整理しました。
- 陸地部分は「点（頂点）」で表す
- 橋は「線（辺）」で表す
→すべての橋を一回ずつ渡る経路があるか？」という問題に帰着。
オイラーはこのような問題を数学的に研究し、次の重要な結論を得ました。
「すべての橋を一回ずつ通ることができるのは、どの頂点も偶数個の辺を持つ場合に限る」
ケーニヒスベルクの橋の問題の場合、すべての陸地（頂点）が奇数個の橋（辺）を持っていたため、そのような道順は存在しないことを数学的に証明しました。
この研究により、「グラフ理論」という新しい数学分野が誕生しました。
(3) オイラー路とオイラー閉路
オイラーの研究により、次のような用語が定義されました。
- オイラー路（Eulerian Path）: すべての辺を一回ずつ通る経路（出発点と終点は異なってもよい）
- オイラー閉路（Eulerian Circuit）: すべての辺を一回ずつ通り、出発点と終点が同じ経路
<オイラー路が存在する条件>
- ちょうど二つの頂点が奇数個の辺を持つ場合 → オイラー路が存在する
- すべての頂点が偶数個の辺を持つ場合 → オイラー閉路が存在する
この結果は、現代のコンピュータサイエンスやネットワーク解析に応用されています。
2. オイラー多面体定理とトポロジーの基礎
(1) 多面体の性質
オイラーは、立体図形の基本的な性質を研究し、次の有名な公式を発見しました。
V – E + F = 2
ここで、V は頂点（Vertices）の数、E は辺（Edges）の数、F は面（Faces）の数です。
この公式は「オイラーの多面体定理（Euler’s Polyhedron Formula）」と呼ばれ、任意の凸多面体で成り立つことが知られています。
(2) 具体例
いくつかの有名な多面体について、この公式を確認してみます。
(a) 立方体（サイコロ）
頂点 V = 8、辺 E = 12、面 F = 6
計算すると、8 – 12 + 6 = 2
確かに成り立っています。
(b) 正四面体（テトラヘドロン）
頂点 V = 4、辺 E = 6、面 F = 4
4 – 6 + 4 = 2
やはり成り立ちます。
(3) トポロジーへの応用
この定理は単なる幾何学の公式にとどまらず、「トポロジー（位相幾何学）」という数学の新しい分野の基礎を築きました。
例えば、多面体を少し変形しても「V-E+F=2」は変わりません。これは、「形がどんなに歪んでも、そのつながり方さえ変わらなければ同じものとみなせる」ことを示しています。
この研究が発展し、後に「オイラー標数（Euler Characteristic）」という概念が定義され、現在ではグラフ理論や幾何学的トポロジーに広く応用されています。
4.物理学と工学におけるオイラーの貢献
オイラーは数学だけでなく、物理学、力学、工学の分野にも多大な貢献をしました。特に、流体力学、剛体の運動、弾性力学などの基礎を築き、現在の物理学や工学の発展に大きな影響を与えました。
1. オイラーの流体方程式（Euler’s Equations of Fluid Motion）
オイラーは流体力学の基礎を築き、現在のナビエ・ストークス方程式（粘性流体の運動を表す方程式）の先駆けとなるオイラー方程式を導出しました。
<オイラー方程式の導出>
オイラー方程式は、粘性のない（摩擦のない）理想流体の運動を記述する微分方程式です。
オイラー方程式は、流体の速度場 v(x, t) に対して以下の形を持ちます。
∂v/∂t + (v・∇)v = – (1/ρ) ∇p + g
ここで、v ：流体の速度ベクトル、p ：圧力、ρ ：流体の密度、g ：外力（重力など）、∇ ：勾配（微分演算子）です。
この式は、ニュートンの運動方程式 F = ma を流体の連続体に適用することで得られます。
オイラー方程式は、以下のような場面で役に立っています。
現代の航空力学・海洋工学・気象学などの分野で基礎となる。
粘性の影響を考慮したナビエ・ストークス方程式へと発展。
ベルヌーイの定理（流体のエネルギー保存則）と密接に関連。
2. 剛体の運動方程式（Euler’s Equations of Rigid Body Motion）
オイラーは剛体の回転運動を記述する運動方程式を導出しました。これらは、現在の宇宙工学・ロボット工学・航空力学などで広く用いられています。
<剛体のオイラー方程式>
オイラーは、剛体の角運動量 L の変化が外力によるトルク M によって決まることを示しました。
dL/dt = M
剛体の角運動量 L は慣性モーメントテンソル I を用いて、L = Iωと表されます。ここで、ω は角速度ベクトルです。
剛体の回転運動を表すオイラーの運動方程式は、以下の成分ごとの式として表されます：
I₁ dω₁/dt + (I₃ – I₂) ω₂ ω₃ = M₁
I₂ dω₂/dt + (I₁ – I₃) ω₃ ω₁ = M₂
I₃ dω₃/dt + (I₂ – I₁) ω₁ ω₂ = M₃
ここで、I₁, I₂, I₃ ：剛体の各軸における慣性モーメント、ω₁, ω₂, ω₃ ：剛体の角速度成分、M₁, M₂, M₃ ：外部トルクの成分です。
剛体のオイラー方程式は、宇宙工学を中心とした様々な分野に応用されています。
宇宙工学：人工衛星や宇宙船の姿勢制御（ジャイロスコープの理論）
ロボット工学：ロボットアームの動作計画
航空力学：飛行機やドローンの安定性解析
3. オイラーの梁の曲げ理論（Euler–Bernoulli Beam Theory）
オイラーは、構造力学の分野でも重要な貢献をしました。その一つが、梁のたわみ（曲げ変形）を記述するオイラー＝ベルヌーイの梁理論です。
< オイラー＝ベルヌーイの梁方程式>
オイラーとダニエル・ベルヌーイは、梁の変形を記述する方程式を導出しました。
EI d⁴y/dx⁴ = q(x)
ここで、y(x) ：梁の変位、E ：ヤング率（材料の剛性）、I ：断面2次モーメント（梁の形状による剛性）、q(x) ：外力分布です。
オイラー＝ベルヌーイの梁方程式は、以下のような場面で役に立っています。
建築工学・土木工学：橋梁設計、高層ビルの構造解析
機械工学：機械部品の強度設計（例：自動車のサスペンション）
航空工学：飛行機の翼のたわみ解析
4. オイラー角（Euler Angles）
オイラーは、3次元空間での回転を記述するために「オイラー角」を導入しました。これは、現在のCG、ロボット工学、航空宇宙工学で使われています。
<オイラー角の定義>
オイラー角は、座標系を3回の回転（ロール、ピッチ、ヨー）で記述する方法です。
回転は、一般的に次の3つの角度で表されます。
1. ヨー角（Yaw, ψ ）: Z軸周りの回転
2. ピッチ角（Pitch, θ ）: X軸周りの回転
3. ロール角（Roll, φ ）: Y軸周りの回転
回転行列はこれらの角を用いて表され、航空機の姿勢制御や3Dモデリングに応用されています。
5.記号と表記の統一
オイラーは、現在広く使われている数学記号を導入し、数学の記述を明確にしました。
オイラーが導入または普及させた記号には、以下のようなものがあります。
・自然対数の底 e（オイラー数）：e = 極限 (1 + 1/n) の n が無限大に近づく値。これは解析学や金融数学で基本となる定数。
・三角関数の記号 sin, cos, tan：以前の数学者は三角関数の記法を統一していませんでしたが、オイラーは現在使われている sin(x), cos(x), tan(x) の記法を採用し、広めました。
・虚数単位 i（i = √(-1)）：オイラーは複素数の研究を深め、現在の記法を確立しました。
・関数の記号 f(x):それまで関数は曖昧な表記で書かれていましたが、オイラーは f(x) という表記を用い、関数の概念を明確にしました。
・シグマ記法 Σ（総和記号）：数列の和を表す記号 Σ を普及させ、級数の計算を簡潔に表記できるようにしました。
これらの記号は、数学をより簡潔かつ明確に表現するために欠かせないものとなり、現在でも使われています。
まとめ: 「数学の王は解析であり、オイラーはその王の王である。」
オイラーの功績は、時代を超えて数学の世界に輝き続けています。
視力を失っても研究を続け、生涯で850本以上の論文を発表した彼の姿勢は、多くの数学者にとって大きな刺激となりました。
ほかにも『天才数学者に関するエピソードや重要定理』についての記事も書いているので、楽しみながら読んでみてください〜！
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